1. Fundamentos da Teoria Clássica de Filtros Analógicos
Um filtro analógico é definido como um quadripolo linear e passivo (rede de duas portas) projetado para permitir a passagem seletiva de componentes espectrais contidos em uma banda de frequências especificada (passband) enquanto atenua substancialmente todas as demais frequências (stopband).
Função de Transferência no Plano Complexo $s$
A relação matemática que dita a resposta temporal e em frequência do filtro é expressa pela função de transferência em tensão $T(s)$:
- Polos (raízes de $D(s)$): Para que o circuito seja realizável e fisicamente estável, todos os polos devem residir rigorosamente no semiplano esquerdo da variável complexa $s = \sigma + j\omega$ ($\text{Re}\{s_p\} < 0$). O denominador $D(s)$ é, portanto, um polinômio de Hurwitz.
- Zeros (raízes de $N(s)$): Representam frequências complexas nas quais a transmissão é identicamente nula. Em filtros passa-baixas clássicos (all-pole), todos os zeros residem no infinito ($s \to \infty$).
Regime Permanente Senoidal, Atenuação e Atraso de Grupo
Fazendo $s = j\omega$, decompõe-se $T(j\omega)$ em magnitude e fase: $T(j\omega) = |T(j\omega)| e^{j\phi(\omega)}$.
O atraso de grupo $\tau_g(\omega)$ representa a derivada negativa da fase e quantifica o retardo temporal que cada componente espectral sofre ao atravessar o circuito. Se $\tau_g(\omega)$ for perfeitamente constante na banda de passagem (fase puramente linear), a forma de onda do sinal de RF é preservada sem qualquer distorção. Por outro lado, variações abruptas de $\tau_g(\omega)$ (comuns em filtros Chebyshev e Elípticos próximos à frequência de corte) causam dispersão temporal, gerando Interferência Intersimbólica (ISI) severa em canais de dados digitais de alta velocidade (como 5G, Wi-Fi 6E/7 e radares automotivos).
1.3 Os Quatro Tipos Ideais de Filtros de Frequência
Um filtro ideal possui resposta estritamente retangular (brick-wall): atenuação nula ($|T(j\omega)| = 1, \alpha = 0\text{ dB}$) na banda passante e atenuação infinita ($|T(j\omega)| = 0, \alpha \to \infty$) na banda de rejeição, com transição de largura zero. Embora fisicamente irrealizável devido ao critério de causalidade de Paley-Wiener, essa abstração define as quatro respostas canônicas de filtragem:
- Filtro Passa-Baixas (LPF): Transmite sinais de $0 \le \omega \le \omega_c$ e bloqueia frequências $\omega > \omega_c$;
- Filtro Passa-Altas (HPF): Bloqueia frequências de $0 \le \omega < \omega_c$ e transmite sinais para $\omega \ge \omega_c$;
- Filtro Passa-Faixa (BPF): Transmite seletivamente a faixa intermediária $\omega_1 \le \omega \le \omega_2$ e bloqueia as demais frequências;
- Filtro Rejeita-Faixa (BSF / Notch): Rejeita vigorosamente a faixa $\omega_1 \le \omega \le \omega_2$ e transmite sinais abaixo de $\omega_1$ e acima de $\omega_2$.
1.4 Especificações de Tolerância e Máscara de Atenuação (Kendall L. Su)
Na prática da engenharia de RF e micro-ondas, os componentes reativos reais produzem respostas suaves. Conforme formulado com rigor por Kendall L. Su (Analog Filters, Cap. 1), as especificações de projeto são formalizadas através de uma máscara de tolerâncias delimitada por quatro parâmetros cardeais:
A partir dessas grandezas, Kendall L. Su define dois parâmetros adimensionais fundamentais que governam a ordem mínima e a complexidade física do circuito:
A faixa de transição $\Delta\omega_t = \omega_s - \omega_p$ separa a passagem da rejeição. Quanto mais estreita for a faixa de transição ($k \to 1$), maior será a ordem física $N$ requerida para atender à máscara.
2. As Cinco Aproximações Matemáticas Canônicas
Como a resposta retangular ideal de um filtro (tijolo / brick-wall) violaria a causalidade e o Teorema de Paley-Wiener, a engenharia de redes utiliza polinômios ortogonais para aproximar a seletividade ideal sob diferentes critérios de otimização (Kendall L. Su, Cap. 2):
| Aproximação | Característica na Passagem | Característica na Rejeição | Atraso de Grupo $\tau_g$ | Principal Aplicação |
|---|---|---|---|---|
| Butterworth | Maximamente plano ($2N-1$ derivadas nulas em $\omega=0$) | Monotônica ($20N\text{ dB/década}$) | Razoavelmente suave, sobe perto de $\omega_c$ | Aplicações gerais, áudio e RF onde ondulação é proibida. |
| Chebyshev Tipo I | Ondulação uniforme controlada (Equal-Ripple) | Monotônica de alta inclinação | Pico acentuado na borda da banda | Máxima seletividade com número reduzido de polos. |
| Chebyshev Tipo II | Maximamente plano (sem ondulação na banda) | Ondulação com zeros finitos de transmissão | Excelente na banda de passagem | Rejeição com zeros finitos sem degradar a banda útil. |
| Bessel-Thomson | Queda suave e progressiva (baixa seletividade) | Monotônica de roll-off lento | Maximamente plano (Fase linear!) | Pulsos rápidos, modulações digitais sem sobressinal. |
| Elíptico (Cauer) | Equal-ripple na passagem | Equal-ripple com zeros finitos | Muito não-linear com pico extremo | Transição ultra-íngreme (mínima ordem física para uma máscara). |
3. Protótipos Normalizados ($g_k$) e Redes em Escada (LC Ladder)
A síntese exata por perda de inserção utiliza uma rede de dois portos sem perdas duplamente terminada (Kendall L. Su, Cap. 7; Pozar, Cap. 8). Os componentes são tabelados de forma normalizada para uma frequência de corte unitária $\omega_c' = 1\text{ rad/s}$ e impedância de gerador unitária $R_0' = 1\,\Omega$:
Tabela de coeficientes protótipos analíticos para ordens ímpares clássicas:
| Ordem e Tipo | $g_1$ | $g_2$ | $g_3$ | $g_4$ | $g_5$ | $g_6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Butterworth $N=3$ | 1.0000 | 2.0000 | 1.0000 | 1.0000 | --- | --- |
| Butterworth $N=5$ | 0.6180 | 1.6180 | 2.0000 | 1.6180 | 0.6180 | 1.0000 |
| Chebyshev 0.5 dB $N=3$ | 1.5963 | 1.0967 | 1.5963 | 1.0000 | --- | --- |
| Chebyshev 0.5 dB $N=5$ | 1.7058 | 1.2296 | 2.5408 | 1.2296 | 1.7058 | 1.0000 |
3.1 Metodologia Sistemática de Síntese de Filtros (Kendal L. Su / Pozar)
A síntese exata por perda de inserção segue uma sequência lógica de projeto determinística. O fluxograma unificado abaixo sintetiza todas as etapas desde as especificações até o layout físico:
3.2 As Oito Etapas Canônicas de Síntese do Filtro Tradicional
- Etapa 1: Definição da Máscara e Requisitos: Especificam-se a atenuação máxima na passagem $A_{\max}$ (ex.: $0{,}1\text{ dB}$ ou $0{,}5\text{ dB}$), atenuação mínima na rejeição $A_{\min}$ (ex.: $20\text{ dB}$ a $40\text{ dB}$), e as frequências de corte $\omega_p$ e rejeição $\omega_s$.
- Etapa 2: Cálculo dos Fatores de Seletividade e Discriminação: Determinam-se $k = \omega_p / \omega_s$ e $k_1 = \sqrt{10^{0{,}1 A_{\max}}-1} / \sqrt{10^{0{,}1 A_{\min}}-1}$.
- Etapa 3: Determinação Analítica da Ordem Mínima $N$:
• Para Butterworth: $$N \ge \frac{\log_{10}(1/k_1)}{\log_{10}(1/k)} = \frac{\log_{10}\left(\frac{10^{0{,}1 A_{\min}} - 1}{10^{0{,}1 A_{\max}} - 1}\right)}{2\log_{10}(\omega_s / \omega_p)}$$ • Para Chebyshev Tipo I: $$N \ge \frac{\text{arcosh}(1/k_1)}{\text{arcosh}(1/k)} = \frac{\text{arcosh}\sqrt{\frac{10^{0{,}1 A_{\min}} - 1}{10^{0{,}1 A_{\max}} - 1}}}{\text{arcosh}(\omega_s / \omega_p)}$$ Arredonda-se sempre para o inteiro imediatamente superior. - Etapa 4: Síntese dos Coeficientes $g_k$ do Protótipo Normalizado: Calculam-se os valores de $g_0, g_1, \dots, g_{N+1}$ através das relações recorrentes de Takahasi ou consulta direta às tabelas analíticas de Kendall L. Su para $\omega_c' = 1\text{ rad/s}$ e $g_0 = 1\,\Omega$.
- Etapa 5: Seleção da Topologia em Escada de Cauer:
• Topologia Direta: Começa com indutor série ($g_1 = L_1$, $g_2 = C_2$, $g_3 = L_3$, etc.);
• Topologia Dual: Começa com capacitor shunt ($g_1 = C_1$, $g_2 = L_2$, $g_3 = C_3$, etc.). - Etapa 6: Escalonamento de Frequência e Impedância (Desnormalização): $$L_k = \frac{Z_0 g_k}{\omega_c}, \qquad C_k = \frac{g_k}{Z_0 \omega_c}, \qquad R_L = g_{N+1} Z_0$$
- Etapa 7: Mapeamento para Linhas de Transmissão (Micro-ondas): Aplica-se a Transformada de Richards ($S = j\tan(\beta l)$ com comprimento elétrico $\theta = \lambda/8$ na frequência de corte $f_c$) e as Identidades de Kuroda para afastar elementos e converter stubs série em stubs paralelos em circuito aberto.
- Etapa 8: Dimensionamento Físico Planar em Microfita: A partir das impedâncias características $Z_0$ de cada stub e linha unitária, calculam-se as larguras $W$ e comprimentos físicos $L$ das fitas condutoras utilizando as equações de microfita de Wheeler e Hammerstad-Jensen para o substrato escolhido.
4. Escalonamento e Transformações de Frequência
Para transformar o protótipo abstrato de laboratório ($1\,\Omega, 1\text{ rad/s}$) em um circuito elétrico operacional na impedância do sistema ($Z_0 = 50\,\Omega$) e frequência desejada ($\omega_c = 2\pi f_c$), aplicam-se as relações canônicas de desnormalização:
As 4 Transformações de Reatância
- Passa-Baixas para Passa-Altas (HPF): Substitui $\Omega = -\omega_c / \omega$. Um indutor série vira um capacitor série de valor $C = 1/(\omega_c Z_0 g_k)$, e um capacitor shunt vira um indutor shunt de valor $L = Z_0 / (\omega_c g_k)$.
- Passa-Baixas para Passa-Faixa (BPF): Substitui $\Omega = \frac{\omega_0}{\Delta\omega}\left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right)$, onde $\omega_0 = \sqrt{\omega_1 \omega_2}$ e $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1$. Cada elemento protótipo $g_k$ transforma-se em um par ressonante (circuito tanque LC série ou LC paralelo)!
- Passa-Baixas para Rejeita-Faixa (BSF): Inversão do mapeamento BPF para produzir zeros de transmissão em $\omega_0$.
5. A Transição para Micro-ondas: Richards e Identidades de Kuroda
Em frequências de micro-ondas ($> 2\text{ GHz}$), os indutores e capacitores concentrados entram em colapso devido à autorressonância parasitária ($f_{\text{SR}}$) e indutância série residual nos terminais (ESL). É indispensável utilizar linhas de transmissão distribuídas em microfita.
A Transformada de Richards (1948)
Paul I. Richards estabeleceu que linhas comensuráveis ($\theta = \beta l$) comportam-se como elementos concentrados sob a variável:
$\bullet$ Capacitor Shunt $C$: Stub em circuito aberto de $\lambda/4$ com $Y_0 = C$.
As Quatro Identidades de Kuroda (1955)
A aplicação direta de Richards cria stubs em série, inviáveis em microfita. As Identidades de Kuroda inserem linhas unitárias ($\lambda/4$) redundantes para transformar stubs série em stubs shunt paralelos e afastar elementos adjacentes.
6. Topologias Planares de Microfita em 3D
6.1 Filtros Passa-Baixas com Saltos de Impedância (Stepped-Impedance)
Baseado na aproximação de seções elétricas curtas ($\beta l < \pi/4$). Alternam-se fitas estreitas de alta impedância ($Z_h \approx 100 - 130\,\Omega$), que sintetizam indutores série ($X_L \approx Z_h \beta l$), com fitas largas de baixa impedância ($Z_l \approx 15 - 25\,\Omega$), que sintetizam capacitores shunt ($B_C \approx \beta l / Z_l$).
6.2 Filtros Passa-Faixa de Linhas Acopladas Paralelas
Constituídos por seções de linha $\lambda/4$ dispostas lado a lado com acoplamento interdigital de borda. A síntese é realizada calculando as impedâncias características de modo par ($Z_{0e}$) e modo ímpar ($Z_{0o}$) a partir dos inversores de admitância $J_k$:
6.3 Topologia Compacta Hairpin (Ressonadores em "U")
A topologia Hairpin dobra cada ressonador de $\lambda/2$ em formato de "U". Isso reduz o comprimento longitudinal da placa em mais de 50% e elimina completamente a necessidade de furos de aterramento metalizados (vias), barateando drasticamente a fabricação.
6.4 Ressonadores de Impedância Escalonada (SIR) e Supressão de Espúrios
Propostos por Makimoto & Yamashita, ressonadores SIR utilizam seções com impedâncias diferentes ($Z_1, Z_2$). Quando a razão de impedâncias $K = Z_2 / Z_1 < 1$, o comprimento ressonante total encurta e a primeira frequência harmônica espúria é empurrada para $f_{s1} > 2 f_0$, limpando a faixa de rejeição.
6.5 Exemplos Práticos de Síntese Completa em Microfita
Exemplo 1: Projeto de Filtro Passa-Baixas com Stubs de Kuroda (2,5 GHz)
Especificações de Projeto: Projetar um filtro passa-baixas planar em microfita com frequência de corte $f_c = 2{,}5\text{ GHz}$, atenuação superior a $20\text{ dB}$ em $4{,}0\text{ GHz}$, ondulação máxima na banda passante de $0{,}1\text{ dB}$ (Chebyshev), com impedância de referência $Z_0 = 50\,\Omega$.
Substrato Escolhido: Rogers RO4003C com $\varepsilon_r = 3{,}55$, espessura de dielétrico $h = 0{,}813\text{ mm}$, espessura de metalização $t = 35\,\mu\text{m}$ (1 oz cobre) e $\tan\delta = 0{,}0027$.
Passo 1: Determinação da Ordem $N$:
Razão de seletividade normalizada: $\omega_s / \omega_p = 4{,}0 / 2{,}5 = 1{,}60$.
Discriminação: Para $A_{\max} = 0{,}1\text{ dB}$ e $A_{\min} = 20\text{ dB}$, temos $\varepsilon = \sqrt{10^{0{,}01}-1} = 0{,}1526$ e $k_1 = 0{,}1526 / \sqrt{10^2 - 1} = 0{,}01534$.
$$N \ge \frac{\text{arcosh}(1 / 0{,}01534)}{\text{arcosh}(1{,}60)} = \frac{4{,}870}{1{,}047} = 4{,}65 \implies \mathbf{N = 5}$$
(Para fins de demonstração didática compacta, adotaremos um protótipo de 3ª ordem $N=3$, que garante $16\text{ dB}$ em $4\text{ GHz}$).
Passo 2: Protótipo Chebyshev ($N=3, 0{,}1\text{ dB}$):
Consultando a tabela de Kendall L. Su / Takahasi:
$g_1 = 1{,}0316$ (indutor série), $g_2 = 1{,}1474$ (capacitor shunt), $g_3 = 1{,}0316$ (indutor série), $g_4 = 1{,}0000$ (carga casada).
Passo 3: Aplicação de Richards ($\lambda/8$ a $2{,}5 ext{ GHz}$):
O comprimento elétrico de cada seção comensurável é $\theta = \pi/4$ (ou $\lambda/8$ em $f_c$).
Indutores série tornam-se stubs em curto-circuito em série ($Z = g_k \cdot Z_0$), e capacitores shunt tornam-se stubs abertos em paralelo ($Y = g_k / Z_0$).
Passo 4: Inserção de Linhas Unitárias e Identidades de Kuroda:
Inserem-se duas linhas unitárias redundantes ($Z_0 = 50\,\Omega$) nas extremidades da rede. Aplicando a 2ª Identidade de Kuroda aos stubs série externos, eles são convertidos em stubs abertos em paralelo:
$$n^2 = 1 + \frac{Z_2}{Z_1} = 1 + \frac{50}{1{,}0316 \times 50} = 1 + 0{,}9694 = 1{,}9694$$
As impedâncias resultantes da rede planar são:
$$\mathbf{Z_{\text{stub1}}' = Z_{\text{stub3}}' = n^2 Z_2 = 1{,}9694 \times 50 = 98{,}47\,\Omega}$$
$$\mathbf{Z_{\text{linha}}' = \frac{Z_2}{n^2} = \frac{50}{1{,}9694} = 25{,}39\,\Omega}$$
$$\mathbf{Z_{\text{stub2}}' = \frac{Z_0}{g_2} = \frac{50}{1{,}1474} = 43{,}58\,\Omega}$$
Passo 5: Dimensões Físicas no Substrato Rogers RO4003C:
Utilizando as equações de síntese de microfita de Wheeler:
• Linha de entrada e saída ($50\,\Omega$): Largura $W_{50} = 1{,}82\text{ mm}$, permissividade efetiva $\varepsilon_{\text{eff}} = 2{,}82$;
• Linhas Unitárias ($25{,}39\,\Omega$): Largura $W_u = 4{,}85\text{ mm}$, comprimento físico $L_u = \frac{\lambda}{8} = \frac{300}{8 \times 2{,}5 \times \sqrt{2{,}98}} = 8{,}68\text{ mm}$;
• Stubs em Paralelo Externos ($98{,}47\,\Omega$): Largura $W_1 = 0{,}65\text{ mm}$, comprimento físico $L_1 = 9{,}15\text{ mm}$;
• Stub em Paralelo Central ($43{,}58\,\Omega$): Largura $W_2 = 2{,}35\text{ mm}$, comprimento físico $L_2 = 8{,}82\text{ mm}$.
Exemplo 2: Projeto de Filtro Passa-Baixas com Saltos de Impedância (Hi-Z / Low-Z a 3,0 GHz)
Especificações: Filtro passa-baixas de 5ª ordem ($N=5$) com $f_c = 3{,}0\text{ GHz}$, aproximação Chebyshev com $0{,}2\text{ dB}$ de ripple, impedância de terminação $Z_0 = 50\,\Omega$.
Impedâncias Limítrofes Práticas: Linha de alta impedância (indutiva) $Z_h = 100\,\Omega$; Linha de baixa impedância (capacitiva) $Z_l = 20\,\Omega$.
Coeficientes do Protótipo ($N=5, 0{,}2\text{ dB}$):
$g_1 = 1{,}3394$ (C), $g_2 = 1{,}3370$ (L), $g_3 = 2{,}1660$ (C), $g_4 = 1{,}3370$ (L), $g_5 = 1{,}3394$ (C).
Como o filtro alterna seções de alta e baixa impedância, os comprimentos elétricos das seções $\beta l_k$ são determinados por:
$$\text{Para seções capacitivas (Low-Z):} \quad \beta l_k = \frac{Z_l}{Z_0} g_k = \frac{20}{50} g_k = 0{,}40 \cdot g_k \quad [\text{rad}]$$
$$\text{Para seções indutivas (Hi-Z):} \quad \beta l_k = \frac{Z_0}{Z_h} g_k = \frac{50}{100} g_k = 0{,}50 \cdot g_k \quad [\text{rad}]$$
Comprimentos Elétricos e Físicos Resultantes (Substrato Rogers RO4003C):
• Seção 1 e 5 ($Z_l = 20\,\Omega$): $\beta l = 0{,}40 \times 1{,}3394 = 0{,}5358\text{ rad} = 30{,}7^\circ \implies W_l = 6{,}52\text{ mm}, \; L_1 = L_5 = 4{,}12\text{ mm}$;
• Seção 2 e 4 ($Z_h = 100\,\Omega$): $\beta l = 0{,}50 \times 1{,}3370 = 0{,}6685\text{ rad} = 38{,}3^\circ \implies W_h = 0{,}63\text{ mm}, \; L_2 = L_4 = 5{,}68\text{ mm}$;
• Seção 3 ($Z_l = 20\,\Omega$): $\beta l = 0{,}40 \times 2{,}1660 = 0{,}8664\text{ rad} = 49{,}6^\circ \implies W_l = 6{,}52\text{ mm}, \; L_3 = 6{,}67\text{ mm}$.
Comprimento Total do Filtro: $L_{\text{total}} = 4{,}12 + 5{,}68 + 6{,}67 + 5{,}68 + 4{,}12 = \mathbf{26{,}27\text{ mm}}$ (ultra-compacto e 100% planar).
7. Fronteiras em Alta Frequência: Filtros em Cavidades SIW (Substrate Integrated Waveguide)
À medida que as aplicações de telecomunicações migram para ondas milimétricas ($24 ext{ GHz} - 100 ext{ GHz}$) — como nos sistemas 5G FR2 (banda Ka em $28 ext{ GHz}$ e $39 ext{ GHz}$), radares automotivos em $77 ext{ GHz}$ e futuros transceptores 6G —, a tecnologia planar tradicional de microfita aberta atinge seus limites físicos fundamentais:
❌ O Colapso da Microfita em Ondas Milimétricas
- Perdas Severas por Radiação: O campo eletromagnético desvia-se para o ar e a fita comporta-se como uma antena espúria;
- Baixo Fator de Mérito: O $Q_u$ descarregado desaba para $Q_u pprox 100 - 200$, provocando perda de inserção intolerável na banda passante ($IL > 3 ext{ dB}$);
- Diafonia e EMI: Acoplamentos espúrios e interferências com circuitos adjacentes na mesma placa de circuito impresso.
✔ A Solução por Cavidades SIW
- Confinamento Eletromagnético Total: Cavidades sintetizadas no substrato através de dois planos de terra de cobre e fileiras densas de vias metalizadas ($d, p$);
- Elevado Fator de Mérito: $Q_u \ge 800 - 1200$, viabilizando filtros altamente seletivos com perda de inserção inferior a $0{,}8 ext{ dB}$;
- Fabricação 100% Planar: Compatível com processos industriais padrão de PCB multicamadas e sem custo de usinagem metálica.
7.1 Ressonância Modal e Fórmulas de Cassivi-Deslandes
Como a espessura do substrato $h$ é muito inferior ao comprimento de onda ($h \ll \lambda$), o campo elétrico no interior da cavidade retangular SIW é exclusivamente transversal e orientado ao longo do eixo $z$. O modo fundamental dominante de ressonância é o $TE_{101}$, cuja frequência de ressonância analítica é dada por:
Devido à dispersão introduzida pelo espaçamento discreto entre as vias cilíndricas metalizadas, as dimensões elétricas efetivas da cavidade ($W_{ ext{eff}}, L_{ ext{eff}}$) são corrigidas em relação às dimensões físicas entre centros de vias ($W_{ ext{siw}}, L_{ ext{siw}}$) pelas relações universais de Cassivi & Deslandes:
Para garantir que as paredes de vias metalizadas atuem eletromagneticamente como paredes elétricas metálicas perfeitas (PEC), é mandatório satisfazer simultaneamente:
• Critério de Ausência de Fuga: $p \le 2d$ (tipicamente $p pprox 1{,}5d$ a $1{,}8d$);
• Critério Anti-Dispersão de Bragg: $d < \lambda_g / 5$ na máxima frequência de operação.
7.2 Mecanismos de Acoplamento por Íris Indutiva e Síntese Matricial
Em um filtro passa-faixa multicavidades, a síntese do comportamento de Chebyshev ou Butterworth é realizada pelo controle preciso de dois mecanismos físicos:
- Fator de Qualidade Externo ($Q_e$): A energia de micro-ondas proveniente da linha de microfita de $50\,\Omega$ é injetada na primeira cavidade através de uma transição taper trapezoidal ($W_0 o W_t$), ajustando a penetração do campo para atender a $Q_{e1} = rac{g_0 g_1}{ ext{FBW}}$;
- Acoplamento Intercavidades ($k_{ij}$): Entre cavidades ressonantes vizinhas, uma íris indutiva de vias é aberta removendo-se estrategicamente vias centrais da parede divisória transversal. A largura livre da janela $w_{ij}$ controla o fluxo de campo magnético mútuo, sintetizando exatamente o elemento da matriz de acoplamento: $$M_{i, i+1} = rac{ ext{FBW}}{\sqrt{g_i g_{i+1}}} pprox rac{f_e^2 - f_m^2}{f_e^2 + f_m^2}$$
7.3 Desempenho em 28 GHz e Comparativo SIW vs Microfita Aberta
A simulação eletromagnética de onda completa de um protótipo de filtro SIW de 2 polos sintetizado sobre substrato de baixo fator de dissipação (Rogers RO4003C, $ arepsilon_r = 3{,}55$, $ an \delta = 0{,}0027$) em $28 ext{ GHz}$ comprova o ganho substancial de desempenho:
7.4 Topologias Avançadas: Filtros Quasi-Elípticos e Cavidades Modo Duplo
Além da cascata direta em linha, a tecnologia SIW viabiliza configurações topológicas sofisticadas de alto impacto nos sistemas modernos:
- Filtros Quasi-Elípticos com Acoplamento Cruzado (Cross-Coupling): Ao organizar 4 cavidades em arranjo quadrático ($1 \leftrightarrow 2 \leftrightarrow 3 \leftrightarrow 4$) e introduzir acoplamento capacitivo cruzado $M_{14} < 0$, sintetizam-se zeros de transmissão finitos imediatamente adjacentes às bordas da banda passante. Isso eleva a seletividade para $> 50 ext{ dB/MHz}$ sem aumentar a ordem física do filtro;
- Cavidades Modo Duplo (Dual-Mode SIW): Uma única cavidade quadrada ou circular pode ser excitada em dois modos ressonantes degenerados e ortogonais ($TE_{102}$ e $TE_{201}$). Um chanfro ou via perturbadora induz o acoplamento mútuo interno entre os dois modos, permitindo que uma única cavidade física execute a função de filtragem de dois polos ($N=2$), reduzindo a área requerida na placa de circuito impresso em $50\%$.
Calculadora de Síntese de Cavidades SIW em Ondas Milimétricas
Laboratório de Teoria de Filtros e Aproximações Clássicas
-42.8 dB
0.35 ns (Baixa)
Síntese de Filtros de Altas Frequências em Microfita
W_0 = 3.05 mm | W_h = 0.72 mm | W_l = 9.84 mm
L_total ≈ 42.6 mm
10. Síntese Numérica e Validação em Python com scikit-rf
O pacote scikit-rf (skrf) permite a modelagem direta de meios de transmissão em microfita e o cálculo exato dos parâmetros de espalhamento $[S]$ para seções acopladas e stubs de Kuroda:
11. Obras Clássicas e Bibliografia Canônica
- Su, Kendall L. Analog Filters, 2nd ed., Kluwer Academic Publishers, 2002. (Apresentação didática completa: Cap. 1 a 4).
- Ludwig, Reinhold & Bretchko, Pavel. RF Circuit Design: Theory and Applications, Prentice Hall, 2000. (Capítulo 5: An Overview of RF Filter Design).
- Pozar, David M. Microwave Engineering, 4th ed., John Wiley & Sons, 2011. (Capítulo 8: Microwave Filters).
- Steer, Michael B. Microwave and RF Design, Volume 4: Modules, 3rd ed., NC State University, 2019. (Capítulo 2: Filters).
- Makimoto, Mitsuo & Yamashita, Sadahiko. Microwave Resonators and Filters for Wireless Communication, Springer, 2001.
- Haro-Báez, R., et al. "Design and Optimization of Broadband Directional Couplers and Power Dividers Using SIW Technology", IEEE Access, 2024.
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