IN-FOTON
LabTel
Laboratório Virtual Especializado • Teoria de Circuitos de Micro-ondas

Matrizes de Redes de RF: $[ABCD] \longleftrightarrow [S]$

Análise matricial linear de quadripolos em micro-ondas: conversão analítica bidirecional entre matrizes de transmissão em cascata $[ABCD]$ e matrizes de espalhamento $[S]$, verificação do critério de reciprocidade ($\det(ABCD) = 1$) e teste de perdas ($|S_{11}|^2 + |S_{21}|^2$).

Docente: Prof. Marcelo Eduardo Vieira Segatto, Ph.D.
•
Afiliação: Departamento de Engenharia Elétrica (DEE) • UFES
•
Laboratórios: LabTel • IN-FOTON

🔄 Bancada de Quadripolos e Conversão Matricial de RF

Selecione uma topologia elementar de rede de 2 portas (linha de transmissão, elemento série ou derivação em paralelo) para obter simultaneamente a matriz $[ABCD]$ e a matriz $[S]$ com diagnóstico de perdas e reciprocidade.

📘 Teoria no [MOD-MAT] Matrizes de Redes
Matriz de Transmissão [ABCD] Recíproco
Carregando matriz...
Matriz de Espalhamento [S] (em Z₀ = 50 Ω) Sem Perdas
Carregando matriz...
Avaliando propriedades do quadripolo...
Roteiro Experimental

Guia de Laboratório: Análise Paramétrica de Quadripolos

Experimentos dirigidos para validar propriedades canônicas de reciprocidade, conservação de energia e inversão de impedância através da álgebra matricial de micro-ondas.

🔬 Experimento 1: Transformador de Quarto de Onda e a Matriz $[ABCD]$

Objetivo: Obter a matriz $[ABCD]$ e a matriz $[S]$ de uma seção de linha com comprimento elétrico $\theta = 90^\circ$ ($\lambda/4$) e impedância característica $Z_{01} = 70{,}71\,\Omega$.

Procedimento Passo a Passo:

  1. Mantenha selecionado o elemento Linha de Transmissão TEM com $Z_{01} = 70{,}71\,\Omega$ e $\theta = 90^\circ$.
  2. Observe a matriz $[ABCD]$ resultante: $$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos 90^\circ & j Z_{01} \sin 90^\circ \\ j Y_{01} \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & j 70{,}71 \\ j 0{,}01414 & 0 \end{bmatrix}$$
  3. Verifique o determinante: $\det(ABCD) = AD - BC = 0 - (j 70{,}71)(j 0{,}01414) = -(-1) = 1{,}000$ (Reciprocidade confirmada).
  4. Observe a matriz $[S]$ resultante no referencial $Z_0 = 50\,\Omega$: os coeficientes diagonais $S_{11} = S_{22} = 0$, comprovando o casamento de impedância que alimenta cada braço do divisor de Wilkinson!

🔬 Experimento 2: Conservação de Potência em Elemento Reativo Puro

Objetivo: Testar o critério de unitariedade ($|S_{11}|^2 + |S_{21}|^2 = 1$) para indutores e capacitores sem perdas.

Procedimento Passo a Passo:

  1. Selecione Impedância em Série com $R = 0\,\Omega$ e $X = 50\,\Omega$ (reatância indutiva pura).
  2. Observe o cálculo de conservação exibido no painel inferior: $|S_{11}|^2 + |S_{21}|^2 = 1{,}000$ (Classificação: ⚡ Passivo Sem Perdas).
  3. Note que mesmo havendo reflexão significativa ($|S_{11}| > 0$), nenhuma energia é convertida em calor, apenas refletida de volta à porta de entrada.

🔬 Experimento 3: Dissipação Térmica e Quebra de Unitariedade

Objetivo: Identificar a assinatura analítica de perda por efeito Joule em um atenuador resistivo.

Procedimento Passo a Passo:

  1. No elemento de Impedância em Série, altere a resistência para $R = 50\,\Omega$ e anule a reatância ($X = 0\,\Omega$).
  2. Observe a soma de potência: $|S_{11}|^2 + |S_{21}|^2 \approx 0{,}556 < 1{,}000$.
  3. Conclusão Física: Aproximadamente $44{,}4\%$ da potência incidente foi dissipada sob forma de calor no resistor série. A matriz $[S]$ não é unitária, embora continue rigorosamente recíproca ($S_{12} = S_{21}$).
Relações de Conversão

Formulação Analítica Canônica $[ABCD] \longleftrightarrow [S]$

Para um quadripolo linear operando com impedância de referência idêntica $Z_0$ em ambas as portas, as transformações entre os parâmetros de transmissão $[ABCD]$ e de espalhamento $[S]$ são dadas por:

$$\Delta = A + \frac{B}{Z_0} + C Z_0 + D$$ $$S_{11} = \frac{A + \frac{B}{Z_0} - C Z_0 - D}{\Delta}, \qquad S_{12} = \frac{2(AD - BC)}{\Delta}$$ $$S_{21} = \frac{2}{\Delta}, \qquad S_{22} = \frac{-A + \frac{B}{Z_0} - C Z_0 + D}{\Delta}$$

Para redes recíprocas, $AD - BC = 1$, o que implica diretamente em $S_{12} = S_{21}$. Para redes simétricas ($A = D$), verifica-se adicionalmente que $S_{11} = S_{22}$.

Rigor Acadêmico

Referências Bibliográficas Verificadas

  • KUROKAWA, Kaneyuki. Power Waves and the Scattering Matrix with Physical Applications. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 13, no. 2, pp. 194–202, Março 1965. DOI: 10.1109/TMTT.1965.1125964. (Artigo clássico de fundamentação das ondas de potência de Kurokawa).
  • POZAR, David M. Microwave Engineering. 4ª Edição. John Wiley & Sons, 2011. Capítulo 4: Microwave Network Analysis (Seções 4.3: The Scattering Matrix, e 4.4: The Transmission (ABCD) Matrix, pp. 170–198).
  • COLLIN, Robert E. Foundations for Microwave Engineering. 2ª Edição. IEEE Press / Wiley, 2001. Capítulo 4: Microwave Network Theory.
  • MARKS, R. B.; WILLIAMS, D. F. A general waveguide circuit theory. Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology (NIST), vol. 97, no. 5, pp. 533–562, 1992.
  • SEGATTO, Marcelo Eduardo Vieira. Notas de Aula de Circuitos e Dispositivos de Micro-ondas: Teoria Matricial de Quadripolos. DEE/UFES, 2026.