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Laboratório Virtual Especializado • Engenharia de Micro-ondas & RF

Carta de Smith Interativa & Casamento de Impedâncias

Explore o mapeamento conforme bilinear no plano complexo do coeficiente de reflexão $\Gamma$, domine o casamento com transformadores de quarto de onda ($\lambda/4$), stubs simples e redes reativas através de missões pedagógicas animadas passo a passo.

Docente: Prof. Marcelo Eduardo Vieira Segatto, Ph.D.
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Afiliação: Departamento de Engenharia Elétrica (DEE) • UFES
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Laboratórios: LabTel • IN-FOTON

🧭 Bancada Virtual da Carta de Smith

Sistema de referência de impedância $Z_0 = 50\,\Omega$. Escolha uma missão para acompanhar a dedução e a trajetória na Carta ou ative o Modo Livre para clicar e arrastar qualquer ponto do plano complexo.

📘 Teoria no [MOD-LT] Linhas de Transmissão e Estruturas Planares →
Passo 1 de 5

Missão 1: Transformador de Quarto de Onda ($\lambda/4$)

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A carga real é $R_L = 200\,\Omega$. Normalizando em relação à linha principal ($Z_0 = 50\,\Omega$): $$z_L = \frac{R_L}{Z_0} = \frac{200}{50} = 4{,}0$$ O ponto situa-se no eixo real direito com $\text{TOE} = 4{,}00$ (descasamento severo com $36\%$ de potência refletida, $|\Gamma| = 0{,}60$).
Círculo azul externo: $|\Gamma| = 1$ • Círculo pontilhado colorido: $\text{TOE}$ constante • Linha tracejada laranja: trajetória da missão
Nível de Casamento ($\text{TOE} / \text{VSWR}$): Avaliando...
Severo ($> 3$) Moderado ($1{,}5 - 3$) Excelente ($\le 1{,}5$) Ideal ($1{,}00$)

Parâmetros de RF no Ponto Atual ($Z_0 = 50\,\Omega$)

Impedância de Carga ($Z_L$) & Normalizada ($z_L$):
50.0 + j0.0 Ω
Coeficiente de Reflexão ($\Gamma = |\Gamma|\angle\theta$):
0.000 ∠ 0.0°
Taxa de Onda Estacionária ($\text{TOE} / \text{VSWR}$):
1.00
Perda de Retorno ($\text{RL}$ em $\text{dB}$):
60.0 dB
Roteiro Experimental

Guia de Laboratório: Análise e Casamento de Impedâncias

Siga os experimentos estruturados abaixo para vivenciar na prática a mecânica geométrica e analítica da Carta de Smith em circuitos de alta frequência.

🔬 Experimento 1: Casamento com Transformador de Quarto de Onda ($\lambda/4$)

Objetivo: Eliminar a reflexão entre uma linha de alimentação de $50\,\Omega$ e uma carga puramente resistiva descasada de $R_L = 200\,\Omega$.

Procedimento Passo a Passo:

  1. Selecione a Missão 1 no painel superior. Observe que o ponto inicial situa-se no eixo real horizontal em $z_L = 4{,}0$.
  2. Calcule a média geométrica para encontrar a impedância do transformador: $$Z_{01} = \sqrt{Z_0 R_L} = \sqrt{50 \times 200} = 100\,\Omega$$
  3. No Passo 3, observe a renormalização da carga sob a ótica da nova linha de $100\,\Omega$: $z_L' = 200/100 = 2{,}0$.
  4. No Passo 4, avance uma distância física $\ell = \lambda/4$ em direção ao gerador. A fase elétrica acumulada é $2\beta\ell = 180^\circ$, invertendo a impedância para $z_{\text{in}}' = 1/2{,}0 = 0{,}5$.
  5. No Passo 5, desnormalize pelo referencial de $100\,\Omega$: $Z_{\text{in}} = 0{,}5 \times 100 = 50\,\Omega$. Note que o ponto agora reside no centro exato da Carta de Smith da linha principal, com $\text{TOE} = 1{,}00$ e $|\Gamma| = 0$.

🔬 Experimento 2: Casamento com Elemento Reativo em Série

Objetivo: Casar uma carga capacitiva complexa $Z_L = 50 - j50\,\Omega$ utilizando apenas um indutor em série.

Procedimento Passo a Passo:

  1. Selecione a Missão 2. Observe a posição da carga em $z_L = 1 - j1$ (hemisfério inferior da Carta, correspondente a comportamento capacitivo).
  2. Como a parte real normalizada já é unitária ($r = 1$), a carga já repousa sobre o círculo unitário de resistência constante!
  3. Adicione em série uma reatância normalizada indutiva $+jx = +j1$, deslocando o ponto ao longo do círculo $r = 1$ no sentido horário até cruzar o eixo real em $z = 1 + j0$.
  4. Se a frequência de operação for $f_0 = 1\text{ GHz}$, determine o valor em nanohenries do indutor de casamento: $$L = \frac{x \cdot Z_0}{2\pi f_0} = \frac{1 \times 50}{2\pi \times 10^9} \approx 7{,}96\text{ nH}$$

🔬 Experimento 3: Casamento por Stub Único em Derivação ($Y$)

Objetivo: Utilizar uma linha de transmissão em derivação (stub) para cancelar a susceptância de uma carga $Z_L = 15 + j20\,\Omega$.

Procedimento Passo a Passo:

  1. Selecione a Missão 3. A carga normalizada é $z_L = 0{,}3 + j0{,}4$.
  2. Converta a impedância em admitância através de uma rotação diametral de $180^\circ$ ($\lambda/4$): $$y_L = \frac{1}{z_L} = \frac{1}{0{,}3 + j0{,}4} = 1{,}2 - j1{,}6$$
  3. Caminhe ao longo da linha principal uma distância $d$ em direção ao gerador até que a admitância atinja o círculo de condutância unitária $g = 1$, onde $y(d) = 1 + jb$.
  4. Conecte em paralelo um stub de comprimento $\ell_{\text{stub}}$ com susceptância de entrada $b_{\text{stub}} = -b$, cancelando a parte reativa e resultando em $y_{\text{total}} = 1 + j0$ ($\text{TOE} = 1{,}00$).

🔬 Experimento 4: Cargas Singulares e Fronteiras Físicas da Carta

Objetivo: Ativar o Modo Livre (Free Play) e mapear os limites canônicos do coeficiente de reflexão no plano complexo:

  • Curto-Circuito ($Z_L = 0$): Posicione o slider em $r = 0, x = 0$. O ponto move-se para o extremo esquerdo $(-1, 0)$, com $\Gamma = -1$ ($|\Gamma| = 1{,}00, \theta = 180^\circ$) e $\text{TOE} \to \infty$.
  • Circuito Aberto ($Z_L \to \infty$): Ajuste $r$ para o valor máximo. O ponto converge para o extremo direito $(+1, 0)$, com $\Gamma = +1$ ($|\Gamma| = 1{,}00, \theta = 0^\circ$).
  • Carga Casada ($Z_L = 50\,\Omega$): Ajuste $r = 1{,}00, x = 0{,}00$. O ponto atinge a origem do plano complexo $(0, 0)$, onde $\Gamma = 0$, $\text{TOE} = 1{,}00$ e $\text{Perda de Retorno} \to \infty\text{ dB}$.
  • Cargas Puramente Reativas ($r = 0, x \neq 0$): Observe que todos os pontos situam-se estritamente sobre a borda circular externa azul ($|\Gamma| = 1{,}00$), indicando reflexão total de potência sem absorção.
Fundamentos Matemáticos

A Transformação Conforme Bilinear e a Geometria da Carta

A Carta de Smith é uma representação gráfica polar do coeficiente de reflexão complexo de tensão $\Gamma = u + jv$, definido como a transformação bilinear de Möbius da impedância normalizada $z = r + jx$:

$$\Gamma = \frac{z - 1}{z + 1} = \frac{(r - 1) + jx}{(r + 1) + jx} = u + jv$$

Isolando $r$ e $x$ e igualando partes reais e imaginárias, obtêm-se as equações de duas famílias ortogonais de círculos no plano $(u, v)$:

Círculos de Resistência Constante $r$: $$\left(u - \frac{r}{r+1}\right)^2 + v^2 = \left(\frac{1}{r+1}\right)^2$$ Centro em $(r/(r+1), 0)$ e raio $1/(r+1)$. Todos passam por $(1, 0)$.
Círculos de Reatância Constante $x$: $$(u - 1)^2 + \left(v - \frac{1}{x}\right)^2 = \left(\frac{1}{x}\right)^2$$ Centro em $(1, 1/x)$ e raio $1/|x|$. Tangentes ao eixo real em $(1, 0)$.
Rigor Acadêmico

Referências Bibliográficas Verificadas

  • SMITH, Phillip Hagar. Transmission Line Calculator. Electronics, vol. 12, no. 1, pp. 29–31, Janeiro 1939. (Artigo seminal de proposição da Carta gráfica de impedâncias).
  • SMITH, Phillip Hagar. Electronic Applications of the Smith Chart: In Waveguide, Circuit, and Component Analysis. McGraw-Hill / Nobel Publishing, 1969. ISBN: 978-1884932397.
  • POZAR, David M. Microwave Engineering. 4ª Edição. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2011. Capítulo 2: Transmission Lines and Smith Chart, pp. 48–98.
  • COLLIN, Robert E. Foundations for Microwave Engineering. 2ª Edição. IEEE Press / John Wiley & Sons, 2001. Capítulo 3: Transmission Lines and Matching Networks.
  • SEGATTO, Marcelo Eduardo Vieira. Notas de Aula de Eletromagnetismo Aplicado: Teoria e Aplicações da Carta de Smith em Micro-ondas. Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Espírito Santo (UFES), 2026.