Trilha Didática do Bloco [MOD-LT]
Explore os fundamentos teóricos completos ou acesse diretamente as ferramentas computacionais interativas:
1. Introdução e o Limite dos Circuitos Concentrados
A transição entre as leis de Kirchhoff e a propagação espaço-temporal de ondas guiadas
Na análise clássica de circuitos elétricos concentrados (Leis de Kirchhoff para nós e malhas), assume-se implicitamente que as dimensões físicas dos componentes e das trilhas de interconexão são desprezíveis perante o comprimento de onda do sinal ($\ell \ll \lambda$), o que equivale a admitir velocidade de propagação infinita e tempo de trânsito nulo.
O Colapso da Hipótese de Parâmetros Concentrados
Conforme a frequência operacional se eleva para a faixa de radiofrequência (RF) e micro-ondas, ou quando lidamos com pulsos digitais de subida ultra-rápida ($t_r$ na escala de picossegundos), o comprimento elétrico da conexão atinge o regime crítico no qual os efeitos de propagação não podem mais ser ignorados:
$$\ell \gtrsim 0{,}01 \lambda \quad \Longleftrightarrow \quad t_d = \frac{\ell}{v_p} \gtrsim 0{,}1 \, t_r$$- $\ell$ (ou $l$): Comprimento físico total da linha de transmissão ou da trilha condutora de interconexão $[\text{m}]$.
- $\lambda$: Comprimento de onda da perturbação guiada no dielétrico ($\lambda = v_p / f$) $[\text{m}]$.
- $v_p$: Velocidade de propagação de fase da onda eletromagnética no meio isolante ($v_p = c / \sqrt{\varepsilon_r}$) $[\text{m/s}]$.
- $t_d$: Tempo de atraso de propagação (time delay ou tempo de trânsito ao longo da linha, dado por $t_d = \ell / v_p$) $[\text{s}]$.
- $t_r$: Tempo de subida do pulso (rise time, usualmente medido no intervalo de $10\%$ a $90\%$ da transição de borda) $[\text{s}]$.
Quando o tempo de trânsito $t_d$ atinge $10\%$ do tempo de subida $t_r$ ($t_d \gtrsim 0{,}1 \, t_r$), as reflexões originadas nas descontinuidades de impedância retornam antes que a transição lógica seja concluída, provocando sobretensão (overshoot), oscilações parasitas (ringing) e degradação da integridade de sinal. Nessas condições, a tensão e a corrente deixam de ser grandezas puramente temporais e tornam-se ondas espaço-temporais acopladas $v(z,t)$ e $i(z,t)$, exigindo o modelo circuital distribuído formulado pioneiramente por Oliver Heaviside.
2. Modelo Circuital Distribuído e Equações dos Telegrafistas
Dedução infinitesimal por malhas e nós no domínio do tempo e representação harmônica fasorial
Uma linha de transmissão uniforme de dois condutores é modelada como uma cascata de células infinitesimais de comprimento $\Delta z$, caracterizadas por quatro parâmetros primários distribuídos por unidade de comprimento:
Resistência série distribuída decorrente da condutividade finita dos condutores e efeito pelicular.
Indutância série devida à autoindutância dos condutores e armazenamento de energia magnética.
Condutância paralelo associada às perdas dielétricas e correntes de fuga pelo meio isolante.
Capacitância paralelo entre os condutores associada à densidade de energia eletrostática confinada.
Figura 4.1: Modelo circuital distribuído infinitesimal de comprimento $\Delta z$ e convenção de sinais para aplicação da Lei das Malhas e Lei dos Nós.
Dedução das Equações dos Telegrafistas no Tempo
Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) na malha fechada:
$$v(z,t) - R \Delta z \, i(z,t) - L \Delta z \frac{\partial i(z,t)}{\partial t} - v(z + \Delta z, t) = 0$$Dividindo por $\Delta z$ e tomando o limite infinitesimal $\Delta z \to 0$:
$$\boxed{\frac{\partial v(z,t)}{\partial z} = -R\, i(z,t) - L \frac{\partial i(z,t)}{\partial t}}$$Aplicando a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) no nó superior:
$$i(z,t) - G \Delta z \, v(z + \Delta z, t) - C \Delta z \frac{\partial v(z + \Delta z, t)}{\partial t} - i(z + \Delta z, t) = 0$$ $$\boxed{\frac{\partial i(z,t)}{\partial z} = -G\, v(z,t) - C \frac{\partial v(z,t)}{\partial t}}$$Em regime harmônico permanente senoidal ($e^{j\omega t}$), adotando a notação fasorial canônica com ponto superior ($\dot{V}, \dot{I}$):
$$\frac{d\dot{V}(z)}{dz} = -(R + j\omega L)\dot{I}(z) = -Z'\dot{I}(z)$$ $$\frac{d\dot{I}(z)}{dz} = -(G + j\omega C)\dot{V}(z) = -Y'\dot{V}(z)$$Derivando novamente em relação à coordenada espacial $z$, obtêm-se as Equações de Onda Fasoriais (Helmholtz) desacopladas:
$$\frac{d^2\dot{V}(z)}{dz^2} - \gamma^2 \dot{V}(z) = 0 \qquad \text{e} \qquad \frac{d^2\dot{I}(z)}{dz^2} - \gamma^2 \dot{I}(z) = 0$$onde a constante de propagação complexa $\gamma$ e a impedância característica de onda $Z_0$ são definidas por:
$$\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)}, \qquad Z_0 = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}} \quad [\Omega]$$3. Linha Sem Perdas e a Condição de Distorção Nula de Heaviside
Aproximação de alta frequência e a célebre proporção analítica para propagação não-dispersiva
No regime de altas frequências ($\omega L \gg R$ e $\omega C \gg G$), as perdas ôhmicas e condutivas tornam-se desprezíveis perante as reatâncias distribuídas ($R = 0, G = 0$), caracterizando a linha sem perdas:
$$\alpha = 0, \qquad \beta = \omega\sqrt{LC}, \qquad Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}} \in \mathbb{R}^+, \qquad v_p = \frac{\omega}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$$A Descoberta Histórica de Oliver Heaviside ($RC = LG$)
Em 1887, Heaviside demonstrou que se uma linha real com perdas satisfizer a proporção $R/L = G/C \iff RC = LG$, a constante de atenuação torna-se rigorosamente independente da frequência:
$$\alpha = \sqrt{RG}, \qquad \beta = \omega\sqrt{LC}, \qquad v_p = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \text{constante}$$Isso assegura que todas as componentes harmônicas de um sinal de banda larga propaguem-se com a mesma velocidade de fase, garantindo dispersão nula e permitindo telecomunicações transoceânicas de longa distância sem deformação morfológica dos pulsos!
4. Reflexão, Regime Permanente, Descasamento e Transformação de Impedância
Padrões de interferência estacionária, TOE/VSWR, Perda de Retorno e impedância de entrada
Quando uma linha é terminada por uma impedância de carga arbitrária $Z_L \neq Z_0$, uma onda refletida surge na descontinuidade. O coeficiente de reflexão complexo de tensão na carga é:
$$\Gamma_L = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = |\Gamma_L| e^{j\theta_L}$$Taxa de Onda Estacionária (TOE / VSWR)
$$\text{TOE} = \frac{|\dot{V}|_{\max}}{|\dot{V}|_{\min}} = \frac{1 + |\Gamma_L|}{1 - |\Gamma_L|}$$Correspondente à consagrada sigla em inglês VSWR (Voltage Standing Wave Ratio, ou SWR). Varia de $\text{TOE} = 1$ (linha perfeitamente casada) até $\text{TOE} \to \infty$ (curto-circuito ou circuito aberto).
Perda de Retorno (Return Loss)
$$RL = -20 \log_{10}|\Gamma_L| \quad [\text{dB}]$$Mede a fração da potência incidente que retorna à fonte. O critério industrial padrão de RF exige $RL \ge 14\text{ dB} \iff \text{TOE} \le 1{,}5$.
A impedância de entrada vista olhando-se para a linha a uma distância $\ell$ da terminação é deduzida combinando as ondas progressivas e regressivas:
$$\boxed{Z_{\text{in}}(\ell) = Z_0 \frac{Z_L + j Z_0 \tan(\beta \ell)}{Z_0 + j Z_L \tan(\beta \ell)}}$$
Figura 4.2: Convenção canônica de coordenadas espaciais em regime permanente: eixo $z$ com origem no gerador ($z \in [-d, 0]$) e eixo $\ell = -z$ com origem na carga ($Z_L$ em $\ell = 0$).
Metodologia Matricial Linear $2 \times 2$ para Determinação das Ondas (DEE/UFES)
Em problemas práticos com gerador real ($\dot{V}_g, Z_g$), a determinação rigorosa das amplitudes das ondas progressiva ($V_0^+$) e regressiva ($V_0^-$) é formulada no DEE/UFES através de um sistema linear algébrico $2 \times 2$ que conecta a teoria de linhas de transmissão diretamente à Álgebra Linear:
$$\begin{bmatrix} \Gamma_L & -1 \\ e^{j\beta d} & e^{-j\beta d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_0^+ \\ V_0^- \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \dot{V}(-d) \end{bmatrix}$$
onde $\dot{V}(-d) = \dot{V}_g \frac{Z_{\text{in}}(-d)}{Z_g + Z_{\text{in}}(-d)}$. Essa modelagem viabiliza a solução computacional analítica imediata via Python (numpy.linalg.solve), obtendo-se instantaneamente $v(z,t)$ e $i(z,t)$ ao longo de toda a extensão da linha.
5. Terminações Canônicas em Regime Permanente
Curto-circuito, circuito aberto, transformador de quarto de onda e repetidor de meia onda
Curto-Circuito ($Z_L = 0, \Gamma_L = -1$)
$$Z_{\text{in}}^{\text{cc}} = j Z_0 \tan(\beta \ell)$$- Para $0 < \ell < \lambda/4$: reatância indutiva ($X > 0$);
- Para $\lambda/4 < \ell < \lambda/2$: reatância capacitiva ($X < 0$);
- Para $\ell = \lambda/4$: antirressonância ($Z_{\text{in}} \to \infty$).
Circuito Aberto ($Z_L \to \infty, \Gamma_L = +1$)
$$Z_{\text{in}}^{\text{ca}} = -j Z_0 \cot(\beta \ell)$$- Para $0 < \ell < \lambda/4$: reatância capacitiva ($X < 0$);
- Para $\lambda/4 < \ell < \lambda/2$: reatância indutiva ($X > 0$);
- Para $\ell = \lambda/4$: ressonância série ($Z_{\text{in}} = 0$).
Transformador de Quarto de Onda ($\ell = \lambda/4$)
$$Z_{\text{in}}(\lambda/4) = \frac{Z_0^2}{Z_L}$$Atua como inversor de impedâncias. Permite casar perfeitamente uma linha de impedância $Z_1$ com uma carga real $R_L$ escolhendo $Z_0 = \sqrt{Z_1 R_L}$.
Repetidor de Meia Onda ($\ell = \lambda/2$)
$$Z_{\text{in}}(\lambda/2) = Z_L$$Replica rigorosamente o valor exato da impedância de carga, independentemente do valor da impedância característica $Z_0$ da linha intermediária.
6. Teoria das Linhas Impressas e Microfita (Microstrip)
Estrutura planar quase-TEM, campos de borda e formulações canônicas de Wheeler e Pozar
A linha de microfita é a estrutura planar mais ubíqua da engenharia de RF e circuitos integrados de micro-ondas (MICs/MMICs). Consiste em uma fita condutora de largura $W$ depositada sobre a face superior de um substrato dielétrico de espessura $h$ e permissividade relativa $\epsilon_r$, cuja face oposta é integralmente metalizada, atuando como plano de terra.
Como a estrutura é estratificada entre o ar superior ($\epsilon_0$) e o dielétrico inferior ($\epsilon_r \epsilon_0$), a velocidade de propagação nos dois meios difere, impossibilitando a existência de um modo TEM puro. Para substratos eletricamente finos ($h \ll \lambda$), a propagação ocorre como um modo Quase-TEM (Quasi-TEM) caracterizado por uma permissividade dielétrica efetiva $\epsilon_{\text{eff}}$ ($1 < \epsilon_{\text{eff}} < \epsilon_r$).
Figura 4.3: (a) Vista tridimensional explodida da linha de microfita com trilha condutora superior, dielétrico e plano de terra; (b) Distribuição transversal das linhas de campo elétrico e magnético em modo Quase-TEM com campos de borda (fringing).
📐 Expressões Canônicas de Wheeler, Hammerstad & Pozar
Modelos quase-estáticos fechados de alta precisão (erro relativo menor que 1% em relação a simulações de onda completa) para projeto e verificação de linhas planares de microfita.
🔍 A. Fórmulas de Análise: $(W, h, \epsilon_r) \longrightarrow (\epsilon_{\text{eff}}, Z_0)$
A partir da geometria física da placa (largura $W$ e espessura do substrato $h$) e da permissividade do dielétrico ($\epsilon_r$), calcula-se a permissividade efetiva de fase e a impedância característica:
1. Permissividade Dielétrica Efetiva ($\epsilon_{\text{eff}}$):
2. Impedância Característica ($Z_0$) calculada conforme a razão de aspecto $W/h$:
🎯 B. Fórmulas de Síntese de Wheeler / Pozar: $(Z_0, h, \epsilon_r) \longrightarrow (W/h, W)$
No projeto de circuitos de RF, a especificação requer uma impedância nominal (geralmente $50\,\Omega$). A formulação de síntese determina a razão de aspecto necessária $W/h$ através de dois ramos analíticos complementares:
onde o coeficiente adimensional $A$ é definido por:
onde o coeficiente adimensional $B$ é dado por:
📝 Exemplo Numérico de Projeto: Linha de $50\,\Omega$ em Substrato FR-4
Especificação de Engenharia: Projetar uma linha casada de $Z_0 = 50\,\Omega$ sobre substrato comercial padrão FR-4 ($\epsilon_r = 4{,}4$, espessura $h = 1{,}6\text{ mm}$, $\tan\delta = 0{,}02$).
-
Cálculo do Coeficiente $A$:
$$A = \frac{50}{60}\sqrt{\frac{4{,}4 + 1}{2}} + \frac{4{,}4 - 1}{4{,}4 + 1}\left(0{,}23 + \frac{0{,}11}{4{,}4}\right) \approx 1{,}369 + 0{,}161 = \mathbf{1{,}530}$$
-
Aplicação do Ramo 1 ($A = 1{,}530 > 1{,}52 \implies W/h \le 2$):
$$\frac{W}{h} = \frac{8e^{1{,}530}}{e^{3{,}060} - 2} = \frac{8 \times 4{,}618}{21{,}328 - 2} \approx \mathbf{1{,}912} \quad (\le 2 \implies \text{válido})$$
-
Largura Física da Trilha ($W$):
$$W = 1{,}912 \times h = 1{,}912 \times 1{,}6\text{ mm} \approx \mathbf{3{,}06\text{ mm}}$$
-
Permissividade Efetiva e Velocidade de Fase:
$$\epsilon_{\text{eff}} \approx \mathbf{3{,}33}, \quad v_p = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_{\text{eff}}}} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{3{,}33}} \approx \mathbf{1{,}64 \times 10^8\text{ m/s}} \quad (54{,}8\% \text{ de } c)$$
Resultados Eletromagnéticos
Ramo 13.059 mm
1.912
50.0 Ω
3.330
7. Fundamentos Matemáticos e Aplicações da Carta de Smith
A transformação conforme bilinear de Phillip H. Smith, topologia no plano complexo e metodologia de casamento de impedâncias
"Desde a época em que comecei a calcular linhas de transmissão com réguas de cálculo, procurei uma representação gráfica que eliminasse as tediosas repetições com funções hiperbólicas complexas."
Desenvolvida em 1939 por Phillip Hagar Smith (e formulada de forma independente no Japão por Tosaku Mizuhashi em 1937), a Carta de Smith é o mais célebre ábaco gráfico da engenharia de RF e micro-ondas. Ela converte cálculos algébricos intrincados de ondas estacionárias e transformações de impedância em trajetórias geométricas diretas e intuitivas.
7.1 A Transformação Conforme Bilinear de Möbius
Seja uma linha com impedância característica real $Z_0$ conectada a uma carga $Z_L = R_L + jX_L$. Definimos a impedância normalizada adimensional $z = Z_L / Z_0 = r + jx$. A relação biunívoca com o coeficiente de reflexão complexo $\Gamma = u + jv = |\Gamma|e^{j\theta}$ é expressa pela transformação bilinear de Möbius:
$$\Gamma = \frac{z - 1}{z + 1} \iff z = \frac{1 + \Gamma}{1 - \Gamma} = \frac{1 + (u+jv)}{1 - (u+jv)}$$Como a derivada complexa $\frac{d\Gamma}{dz} = \frac{2}{(z+1)^2} \neq 0$ para qualquer carga passiva ($r \ge 0$), essa função é holomorfa e constitui um mapeamento conforme: preserva rigorosamente a magnitude e o sentido dos ângulos entre curvas no plano complexo. Por conseguinte, as famílias ortogonais de retas $r = \text{constante}$ e $x = \text{constante}$ no plano $z$ transformam-se em círculos e arcos mutuamente ortogonais no plano $\Gamma$. Além disso, todo o semiplano infinito $r \ge 0$ fica compactado dentro do círculo unitário fechado $|\Gamma| \le 1$.
Dedução Analítica das Partes Real e Imaginária
Multiplicando o numerador e o denominador de $z = \frac{(1+u) + jv}{(1-u) - jv}$ pelo conjugado complexo do denominador $[(1-u) + jv]$:
$$r + jx = \frac{[(1+u) + jv][(1-u) + jv]}{(1-u)^2 + v^2} = \frac{(1 - u^2 - v^2) + j(2v)}{(1 - u)^2 + v^2}$$ $$\boxed{r = \frac{1 - u^2 - v^2}{(1 - u)^2 + v^2}} \qquad \text{e} \qquad \boxed{x = \frac{2v}{(1 - u)^2 + v^2}}$$Círculos de Resistência $r$ Constante
- Centro: $\left(\frac{r}{1+r}, \, 0\right)$ sobre o eixo horizontal real;
- Raio: $R_r = \frac{1}{1+r}$;
- Tangência Universal: Todos os círculos tangenciam internamente o ponto $(1, 0)$ de circuito aberto ($r \to \infty$);
- Para $r = 0$, temos a circunferência unitária externa $|\Gamma| = 1$.
Arcos de Reatância $x$ Constante
- Centro: $\left(1, \, \frac{1}{x}\right)$ localizados sobre a reta vertical $u = 1$;
- Raio: $R_x = \frac{1}{|x|}$;
- Semiplano Superior ($x > 0$): Reatâncias indutivas ($+j\omega L$);
- Semiplano Inferior ($x < 0$): Reatâncias capacitivas ($-j/\omega C$);
- Para $x = 0$, degenera no próprio eixo real central ($v = 0$).
7.2 Topologia e Pontos Notáveis da Carta
| Região / Ponto | Plano $\Gamma$ $(u, v)$ | Impedância $z$ | TOE / VSWR | Significado Físico em RF |
|---|---|---|---|---|
| Centro da Carta | $(0, 0)$ | $1 + j0$ | $1{,}00$ | Casamento Perfeito: $Z_L = Z_0$, sem nenhuma reflexão de potência ($\Gamma = 0$). |
| Extremo Esquerdo | $(-1, 0)$ | $0 + j0$ | $\infty$ | Curto-Circuito: Tensão nula, reflexão total com inversão de fase ($\Gamma = -1$). |
| Extremo Direito | $(+1, 0)$ | $\infty$ | $\infty$ | Circuito Aberto: Corrente nula, reflexão total em fase ($\Gamma = +1$). |
| Perímetro Unitário | $u^2 + v^2 = 1$ | $0 + jx$ | $\infty$ | Fronteira Reativa Pura: Resistência nula ($r = 0$), $100\%$ de reflexão de potência. |
| Semiplano Superior | $v > 0$ | $r + jx \ (x > 0)$ | $> 1$ | Região Indutiva: A tensão adianta-se em relação à corrente na carga ($x > 0$). |
| Semiplano Inferior | $v < 0$ | $r - jx \ (x < 0)$ | $> 1$ | Região Capacitiva: A corrente adianta-se em relação à tensão na carga ($x < 0$). |
Figura 4.4: Mapeamento conforme bilinear entre o semiplano complexo de impedâncias $z = r + jx$ e o círculo unitário $|\Gamma| \le 1$ no plano de reflexão $\Gamma = u + jv$, gerando os círculos de resistência constante $r$ e arcos de reatância constante $x$ da Carta de Smith.
7.3 Dinâmica Espacial em Linhas e Círculos de TOE Constante
Em uma linha de transmissão sem perdas ($\alpha = 0$), o coeficiente de reflexão na posição $\ell$ (medida da carga em direção ao gerador) é dado por:
$$\Gamma(\ell) = \Gamma_L e^{-j 2\beta \ell} = |\Gamma_L| e^{j(\theta_L - 2\beta \ell)}$$Círculo de TOE Constante (VSWR)
Como $|\Gamma(\ell)| = |\Gamma_L| = \text{constante}$, caminhar ao longo de uma linha sem perdas corresponde a percorrer uma circunferência concêntrica à origem. O valor numérico da TOE é lido diretamente no cruzamento com o eixo horizontal positivo ($u > 0$):
$$r_{\text{max}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|} = \text{TOE}$$Regra de Rotação e Período de $\lambda/2$
Conforme nos afastamos da carga em direção ao gerador ($\ell$ cresce), a fase varia por $-2\beta\ell$, gerando uma rotação no sentido horário (*Toward Generator*). Uma volta completa de $360^\circ$ ocorre para:
$$2\beta\ell = 2\pi \iff 2\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)\ell = 2\pi \iff \boxed{\ell = \frac{\lambda}{2}}$$Uma volta inteira na Carta equivale a apenas meia onda na linha física!
7.4 A Carta de Admitâncias ($Y$) e Casamento por *Stub* Simples
Para circuitos em paralelo (como *stubs* em derivação), somam-se admitâncias normalizadas $y = Y / Y_0 = g + jb = 1/z$. Como $\Gamma_y = -\Gamma_z = \Gamma_z e^{\pm j180^\circ}$, converter $z \leftrightarrow y$ equivale a uma rotação de $180^\circ$ ($\lambda/4$) sobre o mesmo círculo de TOE. O círculo de condutância $g = 1$ passa pelo centro e serve de órbita de captura para casamentos em derivação.
Figura 4.5: Trajetória de casamento de impedâncias por stub simples paralelo na Carta de Smith ($z_L = 0{,}4 + j0{,}6$ em $Z_0 = 50\,\Omega$).
Algoritmo do Casamento por *Stub* Paralelo:
- Plote a carga normalizada $z_L$: Trace o círculo de TOE concêntrico com raio $|\Gamma_L|$;
- Desloque-se pela linha principal ($d$): Gire no sentido horário (em direção ao gerador) até interceptar o círculo $g = 1$, onde a admitância é $y(d) = 1 + jb_1$;
- Anule a susceptância com o *stub* ($\ell_s$): Conecte em paralelo um trecho de linha em curto ou aberto com susceptância oposta: $$b_{\text{stub}} = -b_1 \implies y_{\text{total}} = 1 + j0$$
- Conclusão: A impedância resultante vista pelo transmissor é $Z_{\text{in}} = Z_0$ ($\text{TOE} = 1{,}00$).
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Missão 1: Transformador de Quarto de Onda ($\lambda/4$)
Parâmetros de RF no Ponto Atual ($Z_0 = 50\,\Omega$)
50.0 + j0.0 Ω
0.000 ∠ 0.0°
1.00
60.0 dB
8. Rigor Bibliográfico e Referências Recomendadas
- POZAR, David M. Microwave Engineering. 4th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2012. (Capítulo 2: Transmission Line Theory; Capítulo 3: Transmission Lines and Waveguides; Capítulo 5: Impedance Matching and Tuning).
- CHENG, David K. Field and Wave Electromagnetics. 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. (Capítulo 9: Distributed TEM Waves and Transmission Lines).
- BALANIS, Constantine A. Advanced Engineering Electromagnetics. 2nd ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2012.
- EDWARDS, Terry C.; STEER, Michael B. Foundations for Microstrip Circuit Design. 4th ed. Chichester: John Wiley & Sons, 2016.
- SMITH, Phillip H. "Transmission Line Calculator." Electronics, v. 12, n. 1, p. 29–31, Jan. 1939.
- HEAVISIDE, Oliver. Electromagnetic Theory. London: The Electrician Printing and Publishing Co., 1893.