1. O Teorema Fundamental de Redes de Três Portas
Ao projetar divisores ou combinadores de potência com 3 portas, o projetista depara-se com um dos teoremas mais célebres da teoria de micro-ondas:
Uma rede de três portas não pode ser simultaneamente sem perdas, recíproca e casada em todas as três portas. $$\text{Se } S_{11}=S_{22}=S_{33}=0 \text{ e } [S]=[S]^T \implies [S]^\dagger [S] \neq [I]$$
Para obter portas de saída casadas ($S_{22}=S_{33}=0$) e alto isolamento mútuo ($S_{23}=0$), é obrigatório introduzir um elemento resistivo dissipativo. Essa foi a sacada genial de Ernest J. Wilkinson em 1960.
2. O Divisor de Wilkinson e a Decomposição em Modos Par e Ímpar
O divisor clássico de Wilkinson de $3\text{ dB}$ divide a potência de entrada igualmente entre as duas portas de saída com desfasamento nulo ($0^\circ$). Ele utiliza dois braços de quarto de onda ($\lambda/4$) com impedância característica $Z_b = \sqrt{2} Z_0$ e um resistor de isolamento de $R = 2 Z_0$ conectado entre os nós de saída.
$\bullet$ Divisão equitativa: $|S_{21}| = |S_{31}| = 1/\sqrt{2} \implies -3{,}01\text{ dB}$;
$\bullet$ Isolamento perfeito em $f_0$: $S_{23} = S_{32} = 0$.
Quando a porta 1 é excitada, os potenciais nos nós de saída 2 e 3 são idênticos em amplitude e fase ($V_2 = V_3$). A diferença de potencial sobre o resistor de $100\;\Omega$ é rigorosamente nula ($V_2 - V_3 = 0$), logo nenhuma corrente flui pelo resistor e nenhuma potência é dissipada! A perda térmica ocorre apenas quando reflexões assimétricas retornam pelas portas 2 ou 3.
Figura 1: Concepção física 3D do Divisor de Wilkinson convencional: braços de $\lambda/4$ com $Z_b = \sqrt{2}Z_0$ em substrato dielétrico verde e resistor SMD de isolamento $R = 2Z_0$ (corpo retangular preto com terminais metálicos em cinza).
3. Divisores Multi-Seções de Cohn para Operação Multi-Oitavas
O Wilkinson de seção única possui largura de banda típica de $15\% - 25\%$. Para sistemas de banda ultra-larga (como transceptores de guerra eletrônica, radares e 5G mmWave de $2$ a $18\text{ GHz}$), Seymour B. Cohn generalizou o divisor em 1968:
Substitui-se o braço único de $\lambda/4$ por $N$ seções consecutivas com impedâncias $Z_{b,1}, Z_{b,2}, \dots, Z_{b,N}$ sintetizadas segundo protótipos de Chebyshev, e intercala-se $N$ resistores de isolamento $R_1, R_2, \dots, R_N$ entre os nós pares correspondentes.
Enquanto $N=1$ atinge $\text{FBW} \approx 20\%$, um divisor de Cohn de $N=3$ atinge $\text{FBW} > 110\%$ com perda de retorno de entrada $\text{RL} > 20\text{ dB}$ e isolamento entre saídas $|S_{23}| < -20\text{ dB}$ sobre toda a faixa multi-oitavas!
Figura 2: Divisor de Cohn multi-seções ($N=3$): seções escalonadas de $\lambda/4$ sintetizadas via protótipos de Chebyshev e três resistores SMD de isolamento ($R_1, R_2, R_3$) interligando os nós pares para cobertura multi-oitavas ($\text{FBW} > 110\%$).
4. Acopladores Direcionais: Linhas Acopladas e Estruturas Interdigitadas Planares
Um acoplador direcional é um circuito passivo recíproco de 4 portas casadas ($S_{ii} pprox 0$). O sinal injetado na Porta 1 (Entrada) divide-se entre a Porta 2 (Passante / Direta) e a Porta 3 (Acoplada), enquanto a Porta 4 (Isolada) permanece teoricamente nula ($S_{41} = 0$). Em circuitos planares de microfita sobre placa de circuito impresso (PCB), o acoplamento eletromagnético entre condutores próximos opera pelo mecanismo de modos par e ímpar.
4.1 Acoplador Direcional de Linhas Acopladas Paralelas ($\lambda/4$)
Formado por duas fitas condutoras paralelas de largura $w$, comprimento elétrico $\ell = \lambda/4$ na frequência central $f_0$ e separadas por um gap $s$. Pela teoria de linhas acopladas em modo quasi-TEM (Pozar, Cap. 7.6; Collin, Cap. 6.5):
- Condição de Casamento: Para que todas as quatro portas estejam casadas na impedância de referência $Z_0 = 50\,\Omega$, a média geométrica das impedâncias características dos modos par ($Z_{0e}$) e ímpar ($Z_{0o}$) deve satisfazer:
$$Z_0 = \sqrt{Z_{0e} \cdot Z_{0o}}$$
- Coeficiente de Acoplamento de Tensão ($C$): No centro da banda ($ heta = eta\ell = \pi/2$), o acoplamento de tensão transferido à porta acoplada é dado por:
$$C = rac{Z_{0e} - Z_{0o}}{Z_{0e} + Z_{0o}}$$
- Equações de Síntese Analítica: Dado o fator de acoplamento desejado $C$ (ex: $C = 0{,}316$ para $10 ext{ dB}$ ou $C = 0{,}1$ para $20 ext{ dB}$):
$$Z_{0e} = Z_0 \sqrt{ rac{1+C}{1-C}}, \qquad Z_{0o} = Z_0 \sqrt{ rac{1-C}{1+C}}$$
- Natureza Contra-Direcional e Quadratura: A onda acoplada emerge na Porta 3 (no mesmo lado de entrada, onda reversa ou contra-direcional) com fase de $0^\circ$. A Porta 2 (Passante) apresenta atraso de $90^\circ$ em relação à Porta 3 ($V_2/V_0 = -j\sqrt{1-C^2}$), e a Porta 4 é a porta isolada ($V_4 = 0$).
Figura 3: Acoplador Direcional de Linhas Acopladas Paralelas 3D em microfita: seção de acoplamento $\ell = \lambda/4$, gap $s$ e largura $w$ sintetizados pelas impedâncias de modo par e ímpar ($Z_{0e}, Z_{0o}$). Estrutura 100% coplanar de camada única sem pontes ou vias, canônica para acoplamentos fracos e moderados ($10 ext{ a }20 ext{ dB}$).
4.2 O Desafio do Acoplamento Forte (3 dB) e o Acoplador Interdigitado Planar sem Pontes Aéreas
Quando se deseja um acoplamento forte de $3 ext{ dB}$ ($C = 1/\sqrt{2} pprox 0{,}707$), as equações de síntese exigem uma razão extrema entre impedâncias modais: $$Z_{0e} pprox 120{,}7\,\Omega, \qquad Z_{0o} pprox 20{,}7\,\Omega \quad ( ext{para } Z_0 = 50\,\Omega)$$ Em duas linhas de microfita simples, atingir $Z_{0o} = 20{,}7\,\Omega$ exigiria um espaçamento físico $s < 5\,\mu ext{m}$. Essa dimensão é impossível na manufatura padrão de circuitos impressos (cujo limite prático é de $75 ext{ a }100\,\mu ext{m}$) e causaria alto índice de defeitos e curto-circuitos.
A Alternativa sem Fios de Solda (Planar Combline): Em 1969, Julius Lange desenvolveu uma solução com 4 fitas estreitas, mas exigia pontes de solda suspensas (wire bonds) conectando fitas alternadas, o que inviabiliza produção automatizada de baixo custo. Como alternativa moderna puramente planar (Edwards & Steer, Seção 11.5.11; Gunton & Paige, 1975), utiliza-se a estrutura de pentes interdigitados coplanares (interdigital combline):
- Dedos metálicos interpenetrantes gravados no mesmo plano de metalização do cobre;
- Cada dedo atua multiplicando o perímetro mútuo e a capacitância de borda eletrostática sem qualquer cruzamento de condutores;
- Permite obter acoplamentos nominais fortes de $3 ext{ dB}$ e $6 ext{ dB}$ mantendo espaçamentos viáveis ($s \ge 100\,\mu ext{m}$) para processos fotolitográficos convencionais de PCB!
Figura 4: Acoplador Direcional Interdigitado Planar sem Pontes Aéreas 3D (Planar Combline Directional Coupler): dedos condutores interpenetrantes no mesmo nível metálico proporcionam capacitância mútua concentrada para acoplamento forte de $3 ext{ dB}$ em quadratura ($90^\circ$). Estrutura 100% compatível com processos convencionais de circuito impresso.
4.3 Comparativo Técnico de Acopladores e Híbridas em Microfita
5. A Híbrida de Quadratura Branch-Line ($90^\circ$)
A Híbrida de Quadratura Branch-Line é um dispositivo de 4 portas composto por um laço retangular fechado de quatro seções de linha de transmissão com comprimento elétrico de quarto de onda ($\lambda/4$) na frequência de projeto.
$\bullet$ Quadratura de Fase: A saída na porta 3 tem desfasamento de $90^\circ$ em relação à saída na porta 2;
$\bullet$ Isolamento Rigoroso: A porta 4 é a porta isolada ($S_{41} = 0$ em $f_0$);
$\bullet$ Impedâncias dos Ramos: Ramos horizontais possuem $Z_0/\sqrt{2} \approx 35{,}35\,\Omega$ (trilhas mais largas) e ramos verticais possuem $Z_0 = 50\,\Omega$.
Figura 5: Concepção física 3D da Híbrida de Quadratura Branch-Line ($90^\circ$): anel retangular fechado de $\lambda/4$ com ramos horizontais largos ($35{,}35\,\Omega$), ramos verticais ($50\,\Omega$) e 4 linhas de alimentação de $50\,\Omega$.
6. A Híbrida em Anel Rat-Race ($180^\circ$)
A Híbrida em Anel (comumente conhecida na literatura internacional como Rat-Race Coupler ou Híbrida de $180^\circ$) é uma estrutura planar circular de 4 portas com perímetro total rigoroso de $1{,}5\,\lambda = 6 \times (\lambda/4)$ e impedância característica de anel $Z_{\text{anel}} = \sqrt{2} Z_0 \approx 70{,}71\,\Omega$.
$\bullet$ Entrada Diferença $\Delta$ (Porta 3): Divide a potência igualmente entre as portas 2 e 4 em oposição de fase ($180^\circ$), mantendo a porta 1 isolada ($S_{13} = 0$);
$\bullet$ Topologia de Alimentação: Quatro portas de $50\,\Omega$ conectadas ao anel com três trechos de $\lambda/4$ entre P1-P2, P2-P3 e P3-P4, e um setor defasador longo de $3\lambda/4$ ($180^\circ$) entre P4-P1.
A Híbrida Rat-Race é o bloco constitutivo indispensável em misturadores duplamente balanceados (rejeição de ruído de oscilador local), comparadores de monopulso para rastreamento em radares de defesa e combinadores balanceados de amplificadores de potência.
Figura 5: Concepção física 3D da Híbrida em Anel Rat-Race ($180^\circ$): estrutura coplanar monolítica gravada em camada metálica única sobre o dielétrico (sem qualquer sobreposição condutora), perímetro de $1{,}5\,\lambda$ com três setores de $\lambda/4$, setor defasador de $3\lambda/4$ e quatro trilhas radiais de acesso de $50\,\Omega$. Referência técnica canônica: Pozar (Cap. 7.8), Tyrrell (1947) e Wikipedia (Rat-Race Coupler).
7. Divisores e Acopladores em Tecnologia SIW (Substrate Integrated Waveguide)
A tecnologia SIW (Substrate Integrated Waveguide) representa um dos marcos mais expressivos na integração de circuitos de micro-ondas e ondas milimétricas (mmWave, $10$ a $40 ext{ GHz}$). Ela sintetiza um guia de ondas retangular dielétrico diretamente no interior de uma placa de circuito impresso (PCB), delimitado superior e inferiormente por planos de cobre condutor e lateralmente por fileiras regulares de vias metalizadas cilíndricas. Essa abordagem combina a baixíssima perda e elevada capacidade de potência dos guias de ondas volumétricos com o custo reduzido, leveza e perfil estritamente planar característicos das tecnologias de microfita.
7.1 Confinamento Eletromagnético e Equivalência Modal de Cassivi-Deslandes
Devido à descontinuidade periódica das vias metalizadas nas paredes laterais, a estrutura atua como uma barreira eletromagnética perfeita somente se as regras analíticas de confinamento forem rigorosamente respeitadas:
Quando $p \le 2d$, a radiação de fuga entre vias consecutivas torna-se estritamente desprezível. Devido à presença dos planos condutores superior e inferior e às correntes longitudinais induzidas, o guia SIW suporta apenas modos $TE_{m0}$ (com campo elétrico puramente perpendicular ao plano do substrato, isto é, $E_y$). Os modos $TM$ e $TE_{mn}$ com $n e 0$ não encontram sustentação física contínua nas paredes de vias.
A relação matemática que mapeia a largura equivalente de um guia retangular preenchido com ar ($a$) para a largura física entre eixos de vias no substrato dielétrico ($a_{ ext{siw}}$) foi formulada por Cassivi, Deslandes e Wu:
Figura 6: Arquitetura física tridimensional do Divisor Junção T em Tecnologia SIW sobre substrato Rogers RT/duroid 5880 ($ arepsilon_r = 2{,}2$, $h = 1{,}57 ext{ mm}$). Destacam-se as fileiras perimetrais de vias metalizadas ($d, p$), o septo indutivo central de duas vias ($L_v, L_t$) responsável pelo casamento de banda larga e as transições graduadas microfita-taper ($50\,\Omega$) nas três portas.
7.2 Divisor de Potência Junção T em SIW com Septo Indutivo de Duas Vias
O teorema de três portas estabelece que uma junção em T puramente reativa sem perdas e recíproca não pode ter todas as três portas simultaneamente casadas. Tradicionalmente, em divisores de guia de ondas convencionais, a porta de entrada sofre com severo descasamento de reflexão.
No trabalho de Haro-Báez et al. (IEEE Access, 2024), os autores propõem uma solução altamente inovadora e compacta: o posicionamento de um septo formado por duas vias metalizadas cilíndricas ($L_v, L_t$) na bifurcação central do T. Essas vias atuam como postes condutivos shunt indutivos que anulam a susceptância capacitiva parasita da descontinuidade de canto, permitindo atingir $|S_{11}| < -20 ext{ dB}$ em uma largura de banda fracionária superior a $20\%$!
| Padrão WG | Banda | $a_{ ext{siw}}$ (mm) | $W$ (mm) | $L_{m1}$ (mm) | $L_{m2}$ (mm) | $L_v$ (mm) | $L_t$ (mm) | $L_{ ext{siw}}$ (mm) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| WR-90 | Banda X ($8{,}2 - 12{,}4 ext{ GHz}$) | $14{,}85$ | $5{,}00$ | $8{,}00$ | $6{,}04$ | $3{,}10$ | $1{,}70$ | $20{,}5$ |
| WR-75 | Banda Ku Baixa ($10 - 15 ext{ GHz}$) | $10{,}40$ | $3{,}50$ | $10{,}0$ | $14{,}01$ | $2{,}90$ | $1{,}50$ | $18{,}4$ |
| WR-62 | Banda Ku Média ($12{,}4 - 18 ext{ GHz}$) | $10{,}10$ | $1{,}80$ | $6{,}00$ | $6{,}15$ | $2{,}95$ | $0{,}60$ | $15{,}6$ |
| WR-51 | Banda Ku Alta ($15 - 22 ext{ GHz}$) | $7{,}00$ | $3{,}50$ | $8{,}00$ | $7{,}75$ | $1{,}90$ | $0{,}58$ | $13{,}8$ |
| WR-42 | Banda K ($18 - 26{,}5 ext{ GHz}$) | $5{,}63$ | $3{,}50$ | $8{,}10$ | $6{,}01$ | $1{,}40$ | $0{,}52$ | $7{,}61$ |
| WR-34 | Banda Ka ($22 - 33 ext{ GHz}$) | $6{,}40$ | $2{,}80$ | $6{,}70$ | $6{,}52$ | $1{,}85$ | $0{,}47$ | $11{,}35$ |
| WR-28 | Banda Ka/V ($26{,}5 - 40 ext{ GHz}$) | $7{,}29$ | $3{,}50$ | $4{,}55$ | $5{,}75$ | $1{,}20$ | $0{,}16$ | $6{,}60$ |
Fonte: Haro-Báez et al., IEEE Access, 2024 (Tabela 2). Substrato: Rogers RT/duroid 5880 ($ arepsilon_r = 2{,}2$, $h = 1{,}57 ext{ mm}$, $d = 0{,}6 ext{ mm}$, $p = 1{,}2 ext{ mm}$).
Figura 7: Resposta eletromagnética de alta resolução do Divisor T em SIW para a banda WR-75: perda de retorno da entrada $|S_{11}| < -20 ext{ dB}$ cobrindo de $8{,}6 ext{ GHz}$ a $11{,}0 ext{ GHz}$ ($\Delta f pprox 2{,}4 ext{ GHz}$, $ ext{FBW} \ge 22\%$) e divisão simétrica e plana de transmissão $|S_{21}| = |S_{31}| pprox -3{,}1 ext{ dB}$.
7.3 Acoplador Multimodo Direcional $4 imes 4$ (8 Portas) em Banda Ku
Para sistemas complexos como matrizes de comutação de feixe de Butler e redes de alimentação de antenas phased-array, o artigo apresenta um acoplador direcional de 8 portas ($4 ext{ entradas} imes 4 ext{ saídas}$) sintetizado em SIW operando na frequência central de $f_0 = 16{,}5 ext{ GHz}$ (banda Ku):
- Cavidade Multimodo: A região central de acoplamento possui largura ampliada ($W pprox 23{,}3 ext{ mm}$), permitindo a propagação controlada do modo de ordem superior $TE_{40}$ em conjunto com o modo fundamental $TE_{10}$.
- Equidivisão Rigorosa: A interferência construtiva/destrutiva entre esses modos propicia divisão uniforme de $-6{,}02 ext{ dB} \pm 1{,}5 ext{ dB}$ entre as quatro portas de saída (portas 5, 6, 7 e 8) quando qualquer uma das portas de entrada (1 a 4) é excitada.
- Isolamento entre Entradas: As portas não acopladas de entrada mantêm isolamento melhor que $-15 ext{ dB}$ em toda a faixa de operação.
Figura 8: Resposta do Acoplador Multimodo SIW $4 imes 4$ em banda Ku ($16{,}5 ext{ GHz}$): transmissão balanceada às quatro portas de saída com $|S_{j1}| pprox -6 ext{ dB}$ (esquerda) e casamento de entrada $|S_{11}| < -20 ext{ dB}$ associado a isolamento mútuo $|S_{21}|, |S_{31}|, |S_{41}| < -15 ext{ dB}$ (direita).
7.4 Transição Microfita-SIW e Mitigação de Perdas com Amplificadores MMIC
O casamento suave entre as linhas de microfita de $50\,\Omega$ conectadas aos conectores SMA coaxiais e o guia SIW é viabilizado por uma transição em taper trapezoidal:
Nas medições em laboratório com VNA Keysight FieldFox N9918A, os protótipos físicos apresentaram perdas de inserção de $4 ext{ a }6 ext{ dB}$ decorrentes da rugosidade de cobre, penetração de efeito pelicular (skin depth) e soldagem dos conectores SMA. Como solução de engenharia ativa, o artigo propõe cascatear um amplificador MMIC de ultra-larga banda (Mini-Circuits AVA-054-D+, operando de DC a $50 ext{ GHz}$, ganho de $12 ext{--}15 ext{ dB}$ e perda de retorno $> 15 ext{ dB}$) para neutralizar integralmente as perdas do substrato.
7.5 Comparativo Técnico Consolidado: Wilkinson vs. Cohn vs. SIW
A tabela e as curvas sobrepostas a seguir sintetizam as vantagens e compensações técnicas (trade-offs) entre as famílias de divisores planares estudadas:
Figura 9: Comparativo do perfil de reflexão $|S_{11}|$ em frequência normalizada ($f/f_0$): Wilkinson Convencional ($N=1$, estreita banda $pprox 20\%$), Cohn Multi-Seções ($N=3$, ultra-larga banda multi-oitavas $\ge 110\%$) e Junção T em SIW com Septo ($S_{11} < -20 ext{ dB}$, $ ext{FBW} \ge 22\%$, operação mmWave sem resistores discretos).
| Topologia | Largura de Banda | Perdas de Inserção | Componentes Isoladores | Faixa Típica | Pontos Fortes | Limitações |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Wilkinson (1 estágio) | $pprox 15 - 20\%$ | Mínimas ($< 0{,}3 ext{ dB}$) | 1 resistor SMD ($2Z_0$) | UHF a $6 ext{ GHz}$ | Simplicidade e baixo custo | Banda estreita |
| Cohn Multi-Seções ($N=3$) | Multi-oitavas ($> 100\%$) | Baixas a médias | 3 resistores filme fino | $1 ext{ a }18 ext{ GHz}$ | Cobertura multi-banda | Roteamento e tolerâncias SMD |
| SIW Junção T com Septo | Banda Larga ($\ge 20\%$) | Médias (compensáveis por MMIC) | Nenhum (puramente metálico) | $8 ext{ a }40 ext{ GHz}$ (mmWave) | Blindagem EMI, robustez física | Perdas dielétricas em alta freq. |
7.6 Calculadora Interativa de Síntese de Guias e Divisores SIW
Utilize a ferramenta interativa abaixo para sintetizar instantaneamente os parâmetros dimensionais do guia SIW, transições taper e septo indutivo para qualquer guia padrão de micro-ondas:
Simulador de Divisores de Wilkinson e Cohn
-3.01 dB (50.0%)
112.5%
< -22.4 dB
9. Simulação Computacional em Python (scikit-rf)
10. Bibliografia Canônica Recomendada
- STEER, Michael. Microwave and RF Design, Volume 3: Networks. 3. ed. Raleigh: NC State Open Textbook Library, 2019. (Capítulo 5: Couplers and Power Dividers).
- TYRRELL, Warren A. Hybrid Circuits for Microwave Applications. Proceedings of the IRE, v. 35, n. 11, p. 1294-1306, Nov. 1947.
- POZAR, David M. Microwave Engineering. 4. ed. Hoboken: John Wiley & Sons, 2011. (Capítulo 7: Power Dividers and Directional Couplers).
- WILKINSON, Ernest J. An N-Way Hybrid Power Divider. IRE Transactions on Microwave Theory and Techniques, v. 8, n. 1, p. 116-118, Jan. 1960.
- COHN, Seymour B. A Class of Broadband Three-Port TEM-Mode Hybrids. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, v. 16, n. 2, p. 110-116, Feb. 1968.
- EDWARDS, Terry C.; STEER, Michael B. Foundations for Microstrip Circuit Design. 4. ed. Chichester: John Wiley & Sons, 2016. (Capítulo 11: Coupled Microstrip Lines and Directional Couplers).
- GUNTON, D. J.; PAIGE, E. G. S. Directional coupler for gigahertz frequencies, based on the coupling between microstrip lines. Electronics Letters, v. 11, n. 17, p. 406-408, 1975.
- HARO-BÁEZ, Raúl; CARVAJAL MORA, Henry; OROZCO GARZÓN, Nathaly; HERRERA, Katherine; BENÍTEZ, Diego. Design and Optimization of Broadband Directional Couplers and Power Dividers Using SIW Technology. IEEE Access, v. 12, p. 122213-122228, Aug. 2024. DOI: 10.1109/ACCESS.2024.3451664.
Teste Rápido de Fixação: 5 Questões
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